教育部于2024年启动了教育系统人工智能大模型示范应用行动，旨在打造人工智能通识课程体系，赋能理工医农文等各类人才培养，“人工智能+"时代来临，高校迫切需要构建一套完整的人工智能通识课程体系，为社会培养输送大量具有AI素养的优秀专业人才。
目录：
第一部分 线性代数
第1章 向量空间与几何度量
1.1 向量与张量基础
1.1.1标量、向量、矩阵与张量的定义
1.1.2 向量的线性运算
案例1-1:手机摄影美颜滤镜中的像素线性融合
1.1.3 线性无关与基变换
案例1-2:检测数据特征的冗余性
案例1-3:基变换实现数据表示的简化
1.22范数理论与数据度量
1.2.1 范数与无穷范数
案例1-4:模型预测误差的风险评估
1.2.2 范数正则化
案例1-5:L1与L2正则化剔除成绩无效特征
1.2.3 距离度量
案例1-6:基于闵可夫斯基距离的用户偏好判定
1.33内积空间与相似性
1.3.1 内积与几何投影
案例1-7:模拟卷积神经网络中的特征检测
1.3.2 相似性度量
案例1-8:相似度消除用户评分偏差的影响
1.3.3 正交向量组与标准正交基
案例1-9:标准正交基与特征的去相关性
第2章 矩阵分析与线性变换
2.1 矩阵运算与几何意义
2.1.1矩阵乘法与线性映射视角
案例2-1:校园生活状态评估中的特征变换
2.1.2 逆矩阵与广义逆矩阵
案例2-2:利用广义逆矩阵求解薪资预测模型"无解"方程
2.1.3 行列式与几何体积缩放
案例2-3:图像变换中的面积缩放
2.2 特殊矩阵及其应用
2.2.1 对称矩阵与反对称矩阵
案例2-4:用户相似度矩阵的对称性验证
2.2.2 正交矩阵与旋转变换
案例2-5:数据增强中的坐标旋转变换
2.2.3 邻接矩阵与拉普拉斯矩阵
案例2-6:社交网络中的拓扑结构表征
2.3 矩阵秩与降维基础
2.3.1 秩的概念与数据线性相关性
案例2-7:传感器数据建模中的冗余检测
2.3.2 矩阵的低秩逼近与信息压缩
案例2-8:利用低秩逼近实现图像压缩
第3章 特征值与谱理论
3.1 特征值与特征向量
3.1.1 特征方程与特征空间的定义
案例3-1:验证线性变换中的特征不变方向.
3.1.2 特征值的几何意义与伸缩属性
案例3-2:神经网络层对输入信号的增益控制
3.1.3 谱定理与矩阵的可对角化
案例3-3:通过对角化实现相关特征的解耦
3.2 二次型与正定性
3.2.1 二次型的矩阵表示
案例3-4:损失函数局部形态的矩阵表征
3.2.2 正定矩阵与半正定矩阵的判定
案例3-5:利用黑塞矩阵判定模型收敛状态
3.2.3 瑞利商与极值性质
案例3-6:脸特征降维任务中的最大投影方差搜索
第4章 矩阵分解与降维
4.1 奇异值分解(SVD)
4.1.1 SVD的定义与存在性
4.1.2 奇异值的能量分布意义
案例4-1:验证图像矩阵的能量集中现象
4.2.1协方差矩阵的特征分解
案例4-3:计算多特征数据的协方差矩阵
4.2.2 最大方差理论与主成分选取
案例4-4:基于累计贡献率确定降维维度
4.2.3 数据的白化处理
案例4-5:使用白化操作对特征进行规范化
第二部分 微积分与优化
第5章 多元微积分基础
5.1 导数与常用函数
5.1.1 导数的几何意义与物理意义
5.1.2 常见激活函数的导数
案例5-1:深度网络中的信号衰减数值分析
5.1.3 泰勒级数与局部线性近似
案例5-2:自动驾驶轨迹预测的线性化误差分析
5.2 偏导数与梯度.
5.2.1 偏导数与全微分
5.2.2 梯度向量与方向导数
5.2.3 梯度的几何意义与最速下降方向
案例5-3:智能温控系统中的能耗最优化
第6章 矩阵微积分与自动微分
6.1 雅可比矩阵与黑塞矩阵
6.1.1 向量对向量求导与雅可比矩阵
案例6-1:医疗生理特征映射中的雅可比灵敏度分析
6.1.2 二阶导数与黑塞矩阵
案例6-2:无人机悬停控制中的能量曲率分析
6.1.3 多元函数的极值判定与鞍点
案例6-3:黑塞矩阵特征值与函数几何形态的对比
6.2 矩阵求导法则
6.2.1 标量对向量/矩阵的求导
案例6-4:参数优化中的"病态"曲面下降
6.2.2 迹函数求导
案例6-5:神经网络数字图像特征图的重构
6.2.3 最小二乘法的矩阵求导
案例6-6:电商广告投入与销量的线性预测
6.3 计算图与反向传播
6.3.1 复合函数的链式法则
案例6-7:外卖预计送达时间(ETA)的敏感度分析
6.3.2 前向模式与反向模式微分
案例6-8:生成对抗样本欺骗图像识别系统
6.3.3神经网络误差反向传播推导
案例6-9:基于误差反向传播算法的学情分析
第7章 凸优化理论
7.1 凸集与凸函数基础
7.1.1 仿射集与凸集的几何性质
案例7-1:图像像素颜色的凸组合变换
7.1.2 凸函数的一阶与二阶判定条件
案例7-2:情感分类任务中损失函数的局部凸性判定
7.1.3 Jensen 不等式及其应用
案例7-3:图像特征重构中的KL散度(分布差异)判定
7.2 凸优化问题的核心性质
7.2.1 凸优化问题的标准形式
案例7-4:算力调度任务中的线性规划标准形式构建
7.2.2 局部最优与全局最优性质
案例7-5:智能物流调度中的线性规划问题
7.2.3 典型凸优化问题分析
案例7-6:运动员精准膳食配比(二次规划)
7.3 约束优化与对偶理论............
7.3.1 拉格朗日乘子法:从等式约束到不等式约束
7.3.2 对偶问题与弱强对偶性
7.3.3 KKT条件与最优化求解
案例7-7:智能摄影中的噪点抑制与细节平衡应用
第8章 数值优化算法
8.1 一阶优化算法
8.1.1 梯度下降法(GD)的收敛性分析
案例8-1:智慧农业中的灌溉量优化
8.1.2 随机梯度下降(SGD)与小批量策略
案例8-2:电商推荐系统中的实时点击率(CTR)预估
8.1.3 动量法与Nesterov加速机制
案例8-3:自动驾驶汽车的精准限位停车
8.2 自适应学习率算法
8.2.1 基于梯度平方累积的AdaGrad与RMSProp算法
案例8-4:智能家居用电负荷的自适应优化
8.2.2 融合矩估计原理的Adam优化器及其数学推导
案例8-5:短视频推荐算法中的冷启动特征优化应用
第三部分 概率与信息
第9章 概率论基础
9.1 概率空间与事件
9.1.1 条件概率与全概率公式
案例9-1:智能医疗筛查中的患病置信度评估
9.1.2 独立性与相关性的区别
案例9-2:工业电机监测数据中的相关性与独立性分析
9.2常用概率分布
9.2.1 伯努利分布与二项分布
案例9-3:社交媒体广告点击率(CTR)的统计推断
9.2.2 高斯分布(正态分布)与中心极限定理
案例9-4:AI辅助教学系统中的标准化考试成绩分析
9.2.3 多维高斯分布的几何性质
案例9-5:医疗影像分析中的病灶特征关联建模
9.3随机变量的数字特征
9.3.1 期望、方差与协方差
案例9-6:视频直播流媒体传输的延迟波动评估
9.3.2 协方差矩阵与马氏距离的关系
案例9-7:生物制药实验中的基因表达协同分析
第10章统计推断与参数估计
10.1贝叶斯推断斤
10.1.1先验概率、然函数与后验概率
案例10-1:生物制药临床试验的参数收敛性分析
10.1.2 贝叶斯公式在机器学习中的视角
案例10-2:自动驾驶高噪声环境下的状态正则化
10.1.3 朴素贝叶斯分类原理
案例10-3:生产线轴承缺陷检测的概率判别实现
10.2 参数估计方法
10.2.1 极大然估计(MLE)
案例10-4:新能源电网风速概率特征的极大似然估计
10.2.2 最大后验估计(MAP)
案例10-5:投资资产收益波动率的MAP估计
10.2.3 MLE与最小二乘法及交叉熵的等价性
案例10-6:工业压力传感器校准的极大似然路径实现
第11章信息论基础
11.1 信息的度量
11.1.1 自信息与香农熵
案例11-1:医疗影像诊断系统中的类别不确定性度量
11.1.2 联合熵与条件熵
案例11-2:新能源光伏发电预测中的不确定性量化应用
11.1.3 互信息与特征选择
案例11-3:肺部结节特征提取中的互信息特征选择应用
11.2 概率分布的距离
11.2.1 KL散度(相对嫡)
案例11-4:智慧物流库存需求分布的預测偏差量化
11.2.2 交叉与Loss函数
案例11-5:智能制造中零件多分类任务的交叉熵损失量化
11.2.3 JS散度与生成对抗网络(GAN）
案例11-6:教育辅助系统中手写练习题合成质量的JS散度评估
第四部分 随机过程与决策
第12章 随机过程与强化学习基础
12.1 离散时间马尔可夫链
12.1.1 状态转移矩阵与状态图
案例12-1:新能源电力系统负荷状态转移的概率分析
12.1.2 查普曼-科尔莫戈罗夫方程(C-K方程)
案例12-2:电动汽车电池健康状态退化趋势评估
12.2 马尔可夫决策过程
12.2.1 状态、动作、奖励与策略
案例12-3:自适应教育系统中的教学策略反馈评估
12.2.2 回报与折扣因子
案例12-4:智慧物流路径规划中的长期回报评估应用
12.3 价值函数与贝尔曼方程
12.3.1 状态价值函数与动作价值函数
案例12-5:短视频留存优化中的动作价值评估应用
12.3.2 贝尔曼期望方程的递归形式
案例12-6:视频观看体验(QoE)优化中的递归价值评估
12.3.3 贝尔曼最优方程与动态规划思想
案例12-7:配送路径时效优化中的最优价值场计算
参考文献
第一部分 线性代数
第1章 向量空间与几何度量
1.1 向量与张量基础
1.1.1标量、向量、矩阵与张量的定义
1.1.2 向量的线性运算
案例1-1:手机摄影美颜滤镜中的像素线性融合
1.1.3 线性无关与基变换
案例1-2:检测数据特征的冗余性
案例1-3:基变换实现数据表示的简化
1.22范数理论与数据度量
1.2.1 范数与无穷范数
案例1-4:模型预测误差的风险评估
1.2.2 范数正则化
案例1-5:L1与L2正则化剔除成绩无效特征
1.2.3 距离度量
案例1-6:基于闵可夫斯基距离的用户偏好判定
1.33内积空间与相似性
1.3.1 内积与几何投影
案例1-7:模拟卷积神经网络中的特征检测
1.3.2 相似性度量
案例1-8:相似度消除用户评分偏差的影响
1.3.3 正交向量组与标准正交基
案例1-9:标准正交基与特征的去相关性
第2章 矩阵分析与线性变换
2.1 矩阵运算与几何意义
2.1.1矩阵乘法与线性映射视角
案例2-1:校园生活状态评估中的特征变换
2.1.2 逆矩阵与广义逆矩阵
案例2-2:利用广义逆矩阵求解薪资预测模型"无解"方程
2.1.3 行列式与几何体积缩放
案例2-3:图像变换中的面积缩放
2.2 特殊矩阵及其应用
2.2.1 对称矩阵与反对称矩阵
案例2-4:用户相似度矩阵的对称性验证
2.2.2 正交矩阵与旋转变换
案例2-5:数据增强中的坐标旋转变换
2.2.3 邻接矩阵与拉普拉斯矩阵
案例2-6:社交网络中的拓扑结构表征
2.3 矩阵秩与降维基础
2.3.1 秩的概念与数据线性相关性
案例2-7:传感器数据建模中的冗余检测
2.3.2 矩阵的低秩逼近与信息压缩
案例2-8:利用低秩逼近实现图像压缩
第3章 特征值与谱理论
3.1 特征值与特征向量
3.1.1 特征方程与特征空间的定义
案例3-1:验证线性变换中的特征不变方向.
3.1.2 特征值的几何意义与伸缩属性
案例3-2:神经网络层对输入信号的增益控制
3.1.3 谱定理与矩阵的可对角化
案例3-3:通过对角化实现相关特征的解耦
3.2 二次型与正定性
3.2.1 二次型的矩阵表示
案例3-4:损失函数局部形态的矩阵表征
3.2.2 正定矩阵与半正定矩阵的判定
案例3-5:利用黑塞矩阵判定模型收敛状态
3.2.3 瑞利商与极值性质
案例3-6:脸特征降维任务中的最大投影方差搜索
第4章 矩阵分解与降维
4.1 奇异值分解(SVD)
4.1.1 SVD的定义与存在性
4.1.2 奇异值的能量分布意义
案例4-1:验证图像矩阵的能量集中现象
4.2.1协方差矩阵的特征分解
案例4-3:计算多特征数据的协方差矩阵
4.2.2 最大方差理论与主成分选取
案例4-4:基于累计贡献率确定降维维度
4.2.3 数据的白化处理
案例4-5:使用白化操作对特征进行规范化
第二部分 微积分与优化
第5章 多元微积分基础
5.1 导数与常用函数
5.1.1 导数的几何意义与物理意义
5.1.2 常见激活函数的导数
案例5-1:深度网络中的信号衰减数值分析
5.1.3 泰勒级数与局部线性近似
案例5-2:自动驾驶轨迹预测的线性化误差分析
5.2 偏导数与梯度.
5.2.1 偏导数与全微分
5.2.2 梯度向量与方向导数
5.2.3 梯度的几何意义与最速下降方向
案例5-3:智能温控系统中的能耗最优化
第6章 矩阵微积分与自动微分
6.1 雅可比矩阵与黑塞矩阵
6.1.1 向量对向量求导与雅可比矩阵
案例6-1:医疗生理特征映射中的雅可比灵敏度分析
6.1.2 二阶导数与黑塞矩阵
案例6-2:无人机悬停控制中的能量曲率分析
6.1.3 多元函数的极值判定与鞍点
案例6-3:黑塞矩阵特征值与函数几何形态的对比
6.2 矩阵求导法则
6.2.1 标量对向量/矩阵的求导
案例6-4:参数优化中的"病态"曲面下降
6.2.2 迹函数求导
案例6-5:神经网络数字图像特征图的重构
6.2.3 最小二乘法的矩阵求导
案例6-6:电商广告投入与销量的线性预测
6.3 计算图与反向传播
6.3.1 复合函数的链式法则
案例6-7:外卖预计送达时间(ETA)的敏感度分析
6.3.2 前向模式与反向模式微分
案例6-8:生成对抗样本欺骗图像识别系统
6.3.3神经网络误差反向传播推导
案例6-9:基于误差反向传播算法的学情分析
第7章 凸优化理论
7.1 凸集与凸函数基础
7.1.1 仿射集与凸集的几何性质
案例7-1:图像像素颜色的凸组合变换
7.1.2 凸函数的一阶与二阶判定条件
案例7-2:情感分类任务中损失函数的局部凸性判定
7.1.3 Jensen 不等式及其应用
案例7-3:图像特征重构中的KL散度(分布差异)判定
7.2 凸优化问题的核心性质
7.2.1 凸优化问题的标准形式
案例7-4:算力调度任务中的线性规划标准形式构建
7.2.2 局部最优与全局最优性质
案例7-5:智能物流调度中的线性规划问题
7.2.3 典型凸优化问题分析
案例7-6:运动员精准膳食配比(二次规划)
7.3 约束优化与对偶理论............
7.3.1 拉格朗日乘子法:从等式约束到不等式约束
7.3.2 对偶问题与弱强对偶性
7.3.3 KKT条件与最优化求解
案例7-7:智能摄影中的噪点抑制与细节平衡应用
第8章 数值优化算法
8.1 一阶优化算法
8.1.1 梯度下降法(GD)的收敛性分析
案例8-1:智慧农业中的灌溉量优化
8.1.2 随机梯度下降(SGD)与小批量策略
案例8-2:电商推荐系统中的实时点击率(CTR)预估
8.1.3 动量法与Nesterov加速机制
案例8-3:自动驾驶汽车的精准限位停车
8.2 自适应学习率算法
8.2.1 基于梯度平方累积的AdaGrad与RMSProp算法
案例8-4:智能家居用电负荷的自适应优化
8.2.2 融合矩估计原理的Adam优化器及其数学推导
案例8-5:短视频推荐算法中的冷启动特征优化应用
第三部分 概率与信息
第9章 概率论基础
9.1 概率空间与事件
9.1.1 条件概率与全概率公式
案例9-1:智能医疗筛查中的患病置信度评估
9.1.2 独立性与相关性的区别
案例9-2:工业电机监测数据中的相关性与独立性分析
9.2常用概率分布
9.2.1 伯努利分布与二项分布
案例9-3:社交媒体广告点击率(CTR)的统计推断
9.2.2 高斯分布(正态分布)与中心极限定理
案例9-4:AI辅助教学系统中的标准化考试成绩分析
9.2.3 多维高斯分布的几何性质
案例9-5:医疗影像分析中的病灶特征关联建模
9.3随机变量的数字特征
9.3.1 期望、方差与协方差
案例9-6:视频直播流媒体传输的延迟波动评估
9.3.2 协方差矩阵与马氏距离的关系
案例9-7:生物制药实验中的基因表达协同分析
第10章统计推断与参数估计
10.1贝叶斯推断斤
10.1.1先验概率、然函数与后验概率
案例10-1:生物制药临床试验的参数收敛性分析
10.1.2 贝叶斯公式在机器学习中的视角
案例10-2:自动驾驶高噪声环境下的状态正则化
10.1.3 朴素贝叶斯分类原理
案例10-3:生产线轴承缺陷检测的概率判别实现
10.2 参数估计方法
10.2.1 极大然估计(MLE)
案例10-4:新能源电网风速概率特征的极大似然估计
10.2.2 最大后验估计(MAP)
案例10-5:投资资产收益波动率的MAP估计
10.2.3 MLE与最小二乘法及交叉熵的等价性
案例10-6:工业压力传感器校准的极大似然路径实现
第11章信息论基础
11.1 信息的度量
11.1.1 自信息与香农熵
案例11-1:医疗影像诊断系统中的类别不确定性度量
11.1.2 联合熵与条件熵
案例11-2:新能源光伏发电预测中的不确定性量化应用
11.1.3 互信息与特征选择
案例11-3:肺部结节特征提取中的互信息特征选择应用
11.2 概率分布的距离
11.2.1 KL散度(相对嫡)
案例11-4:智慧物流库存需求分布的預测偏差量化
11.2.2 交叉与Loss函数
案例11-5:智能制造中零件多分类任务的交叉熵损失量化
11.2.3 JS散度与生成对抗网络(GAN）
案例11-6:教育辅助系统中手写练习题合成质量的JS散度评估
第四部分 随机过程与决策
第12章 随机过程与强化学习基础
12.1 离散时间马尔可夫链
12.1.1 状态转移矩阵与状态图
案例12-1:新能源电力系统负荷状态转移的概率分析
12.1.2 查普曼-科尔莫戈罗夫方程(C-K方程)
案例12-2:电动汽车电池健康状态退化趋势评估
12.2 马尔可夫决策过程
12.2.1 状态、动作、奖励与策略
案例12-3:自适应教育系统中的教学策略反馈评估
12.2.2 回报与折扣因子
案例12-4:智慧物流路径规划中的长期回报评估应用
12.3 价值函数与贝尔曼方程
12.3.1 状态价值函数与动作价值函数
案例12-5:短视频留存优化中的动作价值评估应用
12.3.2 贝尔曼期望方程的递归形式
案例12-6:视频观看体验(QoE)优化中的递归价值评估
12.3.3 贝尔曼最优方程与动态规划思想
案例12-7:配送路径时效优化中的最优价值场计算
参考文献
